4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола \(y=\frac{1}{5}x^2\) и прямая \(y=20-3x\). Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Чтобы найти возможные точки пересечения, приравняем выражения для \(y\):

\[\frac{1}{5}x^2=20-3x.\]

Умножим уравнение на 5 и перенесём все члены в левую часть:

\[x^2+15x-100=0.\]

Дискриминант равен \(D=15^2-4\cdot1\cdot(-100)=625\), поэтому уравнение имеет два корня:

\[x=\frac{-15\pm25}{2},\qquad x_1=5,\quad x_2=-20.\]

Подставим значения в уравнение прямой: при \(x=5\), \(y=20-3\cdot5=5\); при \(x=-20\), \(y=20-3\cdot(-20)=80\).

Ответ: графики пересекаются в двух точках: \((5; 5)\) и \((-20; 80)\).