4. Один из углов параллелограмма равен 45°. Найдите его диагонали, если стороны равны 4 и 5.

Диагонали параллелограмма являются суммой и разностью векторов его сторон. По теореме косинусов:

1. Для большей диагонали \(AC\): \[AC^2=4^2+5^2+2\cdot4\cdot5\cos45^\circ=16+25+40\cdot\frac{\sqrt2}{2}=41+20\sqrt2.\] Следовательно, \(AC=\sqrt{41+20\sqrt2}\).
2. Для второй диагонали \(BD\): \[BD^2=4^2+5^2-2\cdot4\cdot5\cos45^\circ=16+25-40\cdot\frac{\sqrt2}{2}=41-20\sqrt2.\] Следовательно, \(BD=\sqrt{41-20\sqrt2}\).

Ответ: \(AC=\sqrt{41+20\sqrt2}\), \(BD=\sqrt{41-20\sqrt2}\).