4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найти гипотенузу треугольника.

Задание 4: Прямоугольный треугольник

Дано:

• Прямоугольный треугольник.
• Один из острых углов равен 60 градусов.
• Сумма гипотенузы и меньшего катета: 26,4 см.

Найти: гипотенузу треугольника.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике, если один острый угол равен 60 градусам, то второй острый угол равен 30 градусам (так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам: 90 - 60 = 30).
2. Обозначим гипотенузу как \( c \), больший катет как \( b \), и меньший катет как \( a \).
3. По теореме о соотношении между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Следовательно, меньший катет \( a = \frac{1}{2}c \).
4. По условию задачи, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26,4 см: \[ c + a = 26,4 \]
5. Подставим выражение для \( a \) в это уравнение: \[ c + \frac{1}{2}c = 26,4 \]
6. Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{2c + c}{2} = 26,4 \]
7. Сложим члены с \( c \): \[ \frac{3c}{2} = 26,4 \]
8. Выразим \( c \) (гипотенузу): \[ c = \frac{26,4 \cdot 2}{3} \]
9. Выполним умножение: \[ c = \frac{52,8}{3} \]
10. Выполним деление: \[ c = 17,6 \] см.

Ответ: гипотенуза треугольника равна 17,6 см.