4. Один из углов ромба равен 120°, а диагональ, исходящая из вершины этого угла, равна 12 см. Найдите периметр ромба.

Диагональ ромба, проведённая из вершины угла, делит этот угол пополам. Поэтому получаются два угла по 60°.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя равными сторонами ромба и этой диагональю. Угол между сторонами равен 120°, а противолежащие ему сторона и диагональ связаны теоремой косинусов: \(d^2=s^2+s^2-2s^2\cos120^\circ=3s^2\). Этот вывод неверен для диагонали, исходящей из вершины угла 120°: она является стороной другого из двух треугольников разбиения, где диагональ лежит напротив угла 60°. По теореме косинусов \(d^2=s^2+s^2-2s^2\cos60^\circ=s^2\), значит, \(d=s\).

Следовательно, сторона ромба равна 12 см, а его периметр \(P=4\cdot12=48\) см.

Ответ: 48 см.