4. Однородная доска АС массой 2 кг и длиной 2,8 м опирается на вертикальную стенку (см. рисунок). Определите момент силы тяжести, действующей на стержень, относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку В, если ВС = 1,4 м. Ответ запишите в ньютонах на метр.

Решение:

Для определения момента силы тяжести, действующей на доску, относительно оси, проходящей через точку B, необходимо учитывать, что сила тяжести приложена к центру масс однородной доски. Центр масс однородной доски находится посередине её длины, то есть в точке, удаленной на \( L/2 \) от каждого конца, где \( L \) - длина доски.

Дано:

• Масса доски \( m = 2 \) кг.
• Длина доски \( L = 2.8 \) м.
• Расстояние \( BC = 1.4 \) м.
• Ускорение свободного падения \( g \approx 9.8 \) м/с² (примем \( g = 10 \) м/с² для простоты расчетов, если не указано иное).

Найдем силу тяжести:

\[ F_T = m · g = 2 \text{ кг} · 10 \text{ м/с}^2 = 20 \text{ Н} \]

Центр масс доски находится в середине, поэтому расстояние от точки B до центра масс (проекция на перпендикуляр к силе тяжести) будет зависеть от геометрии.

В данной задаче доска опирается на вертикальную стенку и пол. Точка А находится на стенке, точка С — на полу. Точка B — это ось вращения.

Сила тяжести \( F_T \) действует вертикально вниз и приложена к центру доски, который находится на расстоянии \( L/2 \) от конца А (и от конца С).

Расстояние от центра доски до точки B (оси вращения) является плечом силы тяжести относительно оси B. Поскольку ось вращения находится в точке B, которая лежит на полу, а сила тяжести направлена вертикально вниз, плечо силы тяжести будет равно расстоянию от центра доски до точки B, умноженному на синус угла между доской и вертикалью (или косинус угла между доской и горизонталью).

Однако, в условии сказано, что ось проходит через точку B. Если B — это точка на полу, и доска опирается на стенку в точке A и на пол в точке C, то BC — это расстояние от оси до точки C. Для определения момента силы тяжести, нам нужно расстояние от оси вращения (B) до точки приложения силы тяжести (центр доски), перпендикулярное направлению силы тяжести.

Если принять, что точка B находится на полу, и ось вращения проходит через неё, то нам нужно найти расстояние от центра доски до точки B, умноженное на косинус угла наклона доски.

У нас есть \( BC = 1.4 \) м. Так как \( L = 2.8 \) м, то \( BC = L/2 \). Это означает, что точка C находится ровно посередине доски (или, скорее, что C — это конец доски, а B — точка на полу, и \( BC \) — это расстояние от оси вращения до конца доски).

Перечитаем условие: «...опирается на вертикальную стенку (см. рисунок). Определите момент силы тяжести, действующей на стержень, относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей через точку В, если ВС = 1,4 м.»

Судя по рисунку, точка B — это точка опоры на полу, точка A — точка опоры на стене. Доска AC. Сила тяжести действует на середину доски AC.

Расстояние от точки A до точки B — это высота стенки. Расстояние от точки B до точки C — это расстояние по полу. Доска AC. Центр доски находится посередине AC.

Пусть \( O \) — середина доски AC. Тогда сила тяжести \( F_T \) приложена в точке \( O \).

Нам нужно найти момент силы тяжести \( F_T \) относительно оси, проходящей через точку \( B \).

\( M_B = F_T · d \), где \( d \) — плечо силы тяжести относительно оси \( B \). Плечо \( d \) — это перпендикулярное расстояние от оси \( B \) до линии действия силы тяжести.

Сила тяжести \( F_T \) направлена вертикально вниз. Ось вращения \( B \) находится на полу.

Из рисунка видно, что \( \triangle ABC \) — прямоугольный, с прямым углом в точке \( B \). В этом случае \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \). Длина доски \( L = AC = 2.8 \) м. \( BC = 1.4 \) м. Тогда \( AB^2 = AC^2 - BC^2 = (2.8)^2 - (1.4)^2 = 7.84 - 1.96 = 5.88 \). \( AB = √{5.88} ≈ 2.42 \) м.

Центр доски \( O \) находится на середине \( AC \).

Расстояние от \( B \) до \( O \) — это медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла. Медиана равна половине гипотенузы: \( BO = AC/2 = 2.8/2 = 1.4 \) м.

Сила тяжести \( F_T \) приложена в точке \( O \) и направлена вертикально вниз. Ось вращения — точка \( B \). Плечо силы тяжести — это расстояние от \( B \) до проекции \( O \) на линию, перпендикулярную \( F_T \).

Линия действия силы тяжести — вертикальная прямая, проходящая через \( O \).

Ось вращения — точка \( B \).

Нам нужно найти горизонтальное расстояние от \( B \) до точки \( O \).

Давайте найдем координаты точек. Пусть \( B = (0, 0) \). Тогда \( C = (1.4, 0) \). \( A = (0, AB) = (0, √{5.88}) \).

Середина \( AC \) — точка \( O \): \( O = (\frac{0+1.4}{2}, \frac{√{5.88}+0}{2}) = (0.7, \frac{√{5.88}}{2}) \).

Сила тяжести \( v \) действует вертикально вниз, то есть вдоль оси Y с отрицательным направлением.

Момент силы тяжести \( M_B \) относительно точки \( B=(0,0) \) равен \( v · r · sin(θ) \), где \( r \) — радиус-вектор от \( B \) до \( O \), а \( θ \) — угол между \( r \) и \( F_T \). Или, проще, \( M_B = F_T · d \), где \( d \) — плечо.

Плечо \( d \) — это горизонтальное расстояние от \( B \) до \( O \), так как сила тяжести вертикальна.

Горизонтальная координата точки \( O \) равна \( 0.7 \) м.

Следовательно, плечо силы тяжести \( d = 0.7 \) м.

Момент силы тяжести:

\[ M_B = F_T · d = 20 \text{ Н} · 0.7 \text{ м} = 14 \text{ Н} · \text{м} \]

Ответ: 14 Н·м