Ответ:

Охотники начали на тропинку, извивающуюся между деревьями, и шли по ней, надеясь, что она выведет их из леса.

В слове извивающуюся пишется безударная гласная и; причастный оборот обособляется. Деепричастный оборот надеясь также обособляется.

Ответ: извивающуюся; расставлены запятые.