4) Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 7,5, а АВ=2.

Пусть O - центр окружности. Так как окружность касается AB в точке B, то OB перпендикулярно AB. OB является радиусом окружности, поэтому OB = 7.5 / 2 = 3.75. Треугольник OBC является равнобедренным (OB = OC = радиус). Так как O лежит на AC, то AC является касательной к окружности в точке C, что противоречит условию. Переформулируем: центр окружности O лежит на стороне AC. Окружность проходит через C и касается AB в точке B. Следовательно, OB перпендикулярно AB, и OB = OC = радиус = 7.5/2 = 3.75. В прямоугольном треугольнике ABC, AC является гипотенузой. Рассмотрим треугольник ABO. Угол OBA = 90 градусов. OB = 3.75, AB = 2. По теореме Пифагора, AO^2 = OB^2 + AB^2 = 3.75^2 + 2^2 = 14.0625 + 4 = 18.0625. AO = sqrt(18.0625) = 4.25. Так как O лежит на AC, то AC = AO + OC = 4.25 + 3.75 = 8.