№4 Окружность с центром О описана около равностороннего треугольника АВС. Докажите, что треугольники АВО, ВСО и АСО равны.

Доказательство:

1. Так как окружность с центром О описана около равностороннего треугольника АВС, то точка О является центром этой окружности.

2. Все стороны равностороннего треугольника равны: \( AB = BC = AC \).

3. Все углы равностороннего треугольника равны 60°: \( \angle A = \angle B = \angle C = 60^{\circ} \).

4. Точка О является центром описанной окружности. Расстояния от центра окружности до всех вершин треугольника равны радиусу этой окружности. Следовательно, \( OA = OB = OC = R \), где R — радиус описанной окружности.

5. Рассмотрим треугольники АВО, ВСО и АСО:

• Треугольник АВО: \( OA = OB = R \) (радиусы), \( AB \) — сторона равностороннего треугольника.
• Треугольник ВСО: \( OB = OC = R \) (радиусы), \( BC \) — сторона равностороннего треугольника.
• Треугольник АСО: \( OA = OC = R \) (радиусы), \( AC \) — сторона равностороннего треугольника.

6. Поскольку \( AB = BC = AC \) и \( OA = OB = OC \), то по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам) треугольники АВО, ВСО и АСО равны.

Доказано.