4. Окружность вписана в треугольник АВС, М, К и Р - точки её касания со сторонами. Используя данные, указанные на рисунке, найдите сторону ВС.

Решение:

Свойство касательных, проведённых из одной точки к окружности: отрезки касательных от точки до точки касания равны.

Из рисунка видим:

• \( AP = AK \)
• \( BP = BK \)
• \( CM = CK \)

По условию задачи:

• \( AP = 9 \)
• \( BP = 3 \)
• \( CK = 5 \)

Тогда:

• \( AK = AP = 9 \)
• \( BK = BP = 3 \)
• \( CM = CK = 5 \)

Сторона BC состоит из отрезков BK и CK:

\( BC = BK + CK \)

\( BC = 3 + 5 = 8 \).

Ответ: 8.