4. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается стороны ВС в точке К. Найдите ВК, если АС = 6 см, а периметр треугольника АВС равен 16 см.

Решение:

Пусть \( AB = c \), \( BC = a \), \( AC = b \). Периметр треугольника \( P = a + b + c = 16 \) см.

По условию \( AC = b = 6 \) см.

Следовательно, \( a + c = P - b = 16 - 6 = 10 \) см.

Пусть окружность касается сторон \( AB \) в точке M, \( BC \) в точке K, \( AC \) в точке N.

Из свойств касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем:

• \( AM = AN \)
• \( BM = BK \)
• \( CK = CN \)

Из условия задачи нам нужно найти \( BK \). Обозначим \( BK = x \).

Тогда \( BM = x \).

Известно, что \( BC = a \), \( AC = b = 6 \), \( AB = c \).

\( BC = BK + CK = x + CK = a \)

\( AC = AN + CN = 6 \)

\( AB = AM + BM = c \)

Так как \( AM = AN \) и \( BM = BK \), то \( AB = AN + BK \).

\( c = AN + x \) → \( AN = c - x \).

Теперь подставим это в уравнение для \( AC \):

\( 6 = AN + CN \)

\( 6 = (c - x) + CN \)

→ \( CN = 6 - (c - x) = 6 - c + x \).

Мы знаем, что \( a = x + CK \). Так как \( CK = CN \), то \( a = x + (6 - c + x) \).

\( a = 2x + 6 - c \).

Перегруппируем члены:

\( a + c = 2x + 6 \).

Мы знаем, что \( a + c = 10 \).

\( 10 = 2x + 6 \).

Теперь решим для \( x \):

\( 10 - 6 = 2x \)

\( 4 = 2x \)

\( x = \frac{4}{2} = 2 \) см.

Следовательно, \( BK = 2 \) см.

Проверка:

Если \( BK = 2 \) см, то \( BM = 2 \) см.

\( a + c = 10 \). Пусть \( a = BC \) и \( c = AB \).

\( AN = c - 2 \)

\( CN = 6 - (c - 2) = 8 - c \)

\( CK = CN = 8 - c \)

\( a = BK + CK = 2 + (8 - c) = 10 - c \).

Это совпадает с \( a + c = 10 \).

Ответ: 2 см.