4. Определите максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов, ели работа их выхода из металла 5 эВ. Известно, что при уменьшении длины волны падающего на металл излучения в 2 раза задерживающее напряжение увеличивается в 3 раза.

Решение:

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта:

\[ K_{max} = E - A \]

где \( K_{max} \) — максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов, \( E \) — энергия падающего фотона, \( A \) — работа выхода.

Энергия фотона связана с длиной волны \( \lambda \) формулой: \( E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} \).

Задерживающее напряжение \( U_{зaд} \) связано с максимальной кинетической энергией:

\[ K_{max} = e U_{зaд} \]

где \( e \) — элементарный заряд.

Из условия задачи:

1. Работа выхода \( A = 5 \text{ эВ} \).

2. Пусть начальная длина волны равна \( \lambda_1 \). Тогда начальная энергия фотона \( E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} \) и начальное задерживающее напряжение \( U_{зaд1} \).

\[ K_{max1} = E_1 - A = e U_{зaд1} \]

3. Длина волны уменьшается в 2 раза: \( \lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2} \).

4. Тогда новая энергия фотона \( E_2 = \frac{hc}{\lambda_2} = \frac{hc}{\lambda_1/2} = 2 \frac{hc}{\lambda_1} = 2E_1 \).

5. Задерживающее напряжение увеличивается в 3 раза: \( U_{зaд2} = 3 U_{зaд1} \).

6. Новая максимальная кинетическая энергия \( K_{max2} = E_2 - A = e U_{зaд2} \).

Подставим известные соотношения:

\[ 2E_1 - A = e (3 U_{зaд1}) \]

Мы знаем, что \( E_1 = A + e U_{зaд1} \).

Подставим \( e U_{зaд1} = E_1 - A \) во второе уравнение:

\[ 2E_1 - A = 3 (E_1 - A) \]

\[ 2E_1 - A = 3E_1 - 3A \]

\[ 2A = E_1 \]

Теперь найдем \( K_{max1} \) используя \( E_1 \) и \( A \):

\[ K_{max1} = E_1 - A = 2A - A = A \]

Поскольку \( A = 5 \text{ эВ} \), то \( K_{max1} = 5 \text{ эВ} \).

Однако, это максимальная кинетическая энергия для первого случая. Вопрос задачи — определить максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов. В условии сказано, что "определите максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов", что может относиться к начальному состоянию или к новому состоянию. Чаще всего имеется в виду максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь фотоэлектроны, вылетевшие при облучении светом с длиной волны \( \lambda_2 \).

Рассмотрим второй случай, когда длина волны \( \lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2} \) и \( U_{зaд2} = 3 U_{зaд1} \).

У нас есть система уравнений:

1) \( E_1 - A = e U_{зaд1} \)

2) \( E_2 - A = e U_{зaд2} \) = \( 3 e U_{зaд1} \)

Из (1): \( e U_{зaд1} = E_1 - A \)

Подставим в (2):

\[ E_2 - A = 3(E_1 - A) \]

Так как \( E_2 = 2E_1 \):

\[ 2E_1 - A = 3E_1 - 3A \]

\[ 2A = E_1 \]

Теперь мы можем найти \( K_{max2} = E_2 - A \).

\[ E_2 = 2E_1 = 2(2A) = 4A \]

\[ K_{max2} = E_2 - A = 4A - A = 3A \]

Учитывая, что \( A = 5 \text{ эВ} \):

\[ K_{max2} = 3 \times 5 \text{ эВ} = 15 \text{ эВ} \]

Ответ: Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна 15 эВ.