4. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной 6 см. Найдите объем конуса.

Решение:

Осевое сечение конуса — это равносторонний треугольник. Сторона треугольника является образующей конуса \( l = 6 \) см. Высота конуса \( h \) и радиус основания \( r \) являются катетами прямоугольного треугольника, где гипотенуза — образующая.

1. Так как осевое сечение — равносторонний треугольник, его сторона равна образующей конуса \( l = 6 \) см.
2. Диаметр основания конуса равен стороне равностороннего треугольника, поэтому радиус основания \( r = \frac{l}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.
3. Высоту конуса \( h \) найдем из прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора: \( h^2 + r^2 = l^2 \).
4. \( h^2 + 3^2 = 6^2 \)
5. \( h^2 + 9 = 36 \)
6. \( h^2 = 36 - 9 = 27 \)
7. \( h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \) см.
8. Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).
9. \( V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\pi \) см³.

Ответ: \( 9\sqrt{3}\pi \) см³.