4. Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 6 см и 8см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 65 см². Найдите площадь полной поверхности призмы.

Решение:

1. Находим третью сторону основания:
   Используем теорему косинусов для нахождения третьей стороны основания \( c \):
   \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \)
   где \( a=6 \) см, \( b=8 \) см, \( \gamma = 120^{\circ} \).
   \( \cos(120^{\circ}) = -0.5 \)
   \( c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot (-0.5) \)
   \( c^2 = 36 + 64 + 96 \cdot 0.5 \)
   \( c^2 = 100 + 48 = 148 \)
   \( c = \sqrt{148} = \sqrt{4 \cdot 37} = 2\sqrt{37} \) см.
2. Находим высоту призмы:
   Наибольшая площадь боковой грани равна 65 см². Наибольшая боковая грань соответствует наибольшей стороне основания. Стороны основания равны 6 см, 8 см и \( 2\sqrt{37} \) см. Сравним \( 8 \) и \( 2\sqrt{37} \): \( 8^2 = 64 \), \( (2\sqrt{37})^2 = 4 \times 37 = 148 \). Таким образом, \( 2\sqrt{37} \) – наибольшая сторона.
   Пусть высота призмы равна \( H \). Площадь наибольшей боковой грани равна \( S_{бок.наиб.} = c · H \).
   \( 65 = 2\sqrt{37} · H \)
   \( H = \frac{65}{2\sqrt{37}} \) см.
3. Находим площадь боковой поверхности:
   Периметр основания \( P = a + b + c = 6 + 8 + 2\sqrt{37} = 14 + 2\sqrt{37} \) см.
   Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = P · H = (14 + 2\sqrt{37}) · \frac{65}{2\sqrt{37}} \)
   \( S_{бок} = \frac{14 · 65}{2\sqrt{37}} + \frac{2\sqrt{37} · 65}{2\sqrt{37}} \)
   \( S_{бок} = \frac{7 · 65}{\sqrt{37}} + 65 = \frac{455}{\sqrt{37}} + 65 \) см².
4. Находим площадь основания:
   Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними:
   \( S_{осн} = \frac{1}{2}ab · \sin(\gamma) \)
   \( S_{осн} = \frac{1}{2} · 6 · 8 · \sin(120^{\circ}) \)
   \( \sin(120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
   \( S_{осн} = \frac{1}{2} · 6 · 8 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \) см².
5. Находим площадь полной поверхности:
   \( S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} \)
   \( S_{полн} = \left( \frac{455}{\sqrt{37}} + 65 \right) + 2 · 12\sqrt{3} \)
   \( S_{полн} = \frac{455}{\sqrt{37}} + 65 + 24\sqrt{3} \) см².

Ответ: \( \frac{455}{\sqrt{37}} + 65 + 24\sqrt{3} \) см².