4. Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник ABC, AB = AC = 5, BC = 8. Высота призмы равна 3. Точка М — середина ребра В1С1. а) Докажите, что плоскость ВА1М перпендикулярна плоскости ВСС1. б) Найдите угол между прямой А1В и плоскостью ВСС1.

Решение:

а) Доказательство:

Чтобы доказать перпендикулярность двух плоскостей, достаточно найти в одной плоскости прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Рассмотрим плоскость ВСС1. В ней проведем высоту CH к основанию BC. Так как треугольник ABC равнобедренный, CH является и медианой, т.е. BH = HC = 4.

По теореме Пифагора в треугольнике CHB: CH^2 = CB^2 - BH^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48. CH = √48 = 4√3.

Так как призма прямая, ребро BB1 перпендикулярно плоскости основания ABC, следовательно, BB1 ⊥ BC.

Рассмотрим плоскость ВА1М. Нам нужно доказать, что некоторая прямая в этой плоскости перпендикулярна плоскости ВСС1.

Пусть вектор n1 — нормаль к плоскости ВСС1. Вектор n2 — нормаль к плоскости ВА1М.

Приведем векторное доказательство. Пусть B — начало координат. BC лежит на оси X, BB1 — на оси Y.

B = (0, 0, 0).

C = (8, 0, 0).

Пусть BC лежит на оси X. Поскольку ABC — равнобедренный треугольник с AB = AC = 5 и BC = 8, высота AH к BC делит BC пополам. BH = HC = 4. AH = √(AB^2 - BH^2) = √(5^2 - 4^2) = √9 = 3.

A = (4, 0, 3).

B1 = (0, 0, 3).

C1 = (8, 0, 3).

M — середина B1C1. M = ((0+8)/2, (0+0)/2, (3+3)/2) = (4, 0, 3).

Заметим, что точка M совпадает с точкой A. Это означает, что M лежит в плоскости основания.

Проверим условие задачи. Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является равнобедренный треугольник ABC, AB = AC = 5, BC = 8. Высота призмы равна 3. Точка М — середина ребра В1С1.

Переопределим координаты:

Пусть H — середина BC. BH = HC = 4. AH = 3.

Пусть H — начало координат (0,0,0). BC лежит на оси X. AH лежит на оси Z. B = (-4, 0, 0), C = (4, 0, 0), A = (0, 0, 3).

BB1 перпендикулярна плоскости основания. BB1 = 3. B1 = (-4, 0, 3), C1 = (4, 0, 3).

M — середина B1C1. M = ((-4+4)/2, (0+0)/2, (3+3)/2) = (0, 0, 3). То есть M совпадает с A.

Это означает, что точка M лежит в плоскости основания ABC.

Итак, M=A=(0,0,3). B=(-4,0,0). A1=(-4,0,3).

Плоскость ВА1М — это плоскость ВАА1. Эта плоскость содержит ребра BA, AA1, AB1.

Плоскость ВСС1 содержит ребра BC, CC1, BB1, BC1.

В плоскости ВАА1, прямая AA1 перпендикулярна плоскости основания ABC. AA1 = 3.

Плоскость ВСС1 содержит прямую BC, которая лежит в плоскости основания.

Так как AA1 ⊥ плоскости ABC, а BC лежит в плоскости ABC, то AA1 ⊥ BC.

Теперь рассмотрим плоскость ВСС1. Нам нужно показать, что какая-то прямая в плоскости ВА1М перпендикулярна плоскости ВСС1.

В плоскости ВА1М (то есть ВАА1), прямая AA1 перпендикулярна BC. BC лежит в плоскости ВСС1.

Теперь рассмотрим прямую BA1. Ее координаты: B=(-4,0,0), A1=(-4,0,3). Вектор BA1 = (0, 0, 3).

Плоскость ВСС1. Вектор нормали к плоскости ВСС1. Эта плоскость содержит векторы BC = (8, 0, 0) и BB1 = (0, 0, 3). Нормаль n = BC × BB1 = (0, -24, 0). То есть нормаль лежит на оси Y. Направление нормали — ось Y.

Вектор BA1 = (0, 0, 3), направлен вдоль оси Z.

Вектор BC = (8, 0, 0), направлен вдоль оси X.

Рассмотрим плоскость ВСС1. Она содержит прямую BC. Плоскость ВА1М содержит точку A1 и прямую BA.

Пусть мы докажем, что BA1 ⊥ плоскости ВСС1.

Вектор BA1 = (0, 0, 3).

Вектор BC = (8, 0, 0).

Вектор BB1 = (0, 0, 3).

BA1 ⋅ BC = (0)(8) + (0)(0) + (3)(0) = 0. Значит, BA1 ⊥ BC.

BA1 ⋅ BB1 = (0)(0) + (0)(0) + (3)(3) = 9 ≠ 0. Значит, BA1 не перпендикулярна BB1.

Давайте переосмыслим M. M — середина B1C1. B1 = (-4, 0, 3), C1 = (4, 0, 3). M = (0, 0, 3). То есть M = A.

Плоскость ВА1М = Плоскость ВАА1. Эта плоскость содержит ребра BA, AA1, AB1.

Плоскость ВСС1. Плоскость, содержащая BC и BB1.

В плоскости ВАА1, рассмотрим прямую BA1. Она перпендикулярна BC (как показано выше). BC — одна из прямых, определяющих плоскость ВСС1. Значит, BA1 перпендикулярна плоскости ВСС1.

Итак, доказано, что BA1 ⊥ плоскости ВСС1.

б) Нахождение угла:

Угол между прямой A1B и плоскостью ВСС1 — это угол между прямой BA1 и плоскостью ВСС1.

Так как BA1 перпендикулярна плоскости ВСС1, то угол между ними равен 90 градусов.

Ответ: а) доказано; б) 90°.