4. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 5, а биссектриса угла A перпендикулярна стороне CD. Найдите AB.

Обозначим через \(h\) высоту трапеции, а через \(x\) — горизонтальную проекцию стороны \(AB\) на основание \(AD\). Тогда \(AB=\sqrt{x^2+h^2}\).

Направляющий вектор биссектрисы угла \(A\) пропорционален сумме единичных векторов вдоль \(AD\) и \(AB\): \((1+x/AB,\ h/AB)\). Вектор стороны \(CD\) равен \((x-3,\ h)\), поскольку основания отличаются по длине на \(5-2=3\).

Перпендикулярность означает, что скалярное произведение векторов равно нулю:

\((x-3)(1+x/AB)+h^2/AB=0\).

Умножим на \(AB\) и используем \(h^2=AB^2-x^2\):

\((x-3)(AB+x)+AB^2-x^2=0\),

\((AB+x)(2AB-3)=0\).

Поскольку \(AB+x>0\), получаем \(2AB-3=0\), откуда \(AB=\frac{3}{2}\).

Ответ: \(AB=1{,}5\).