4. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром О. Угол ACB равен 25°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как AC и BD — диаметры, то они проходят через центр окружности О.

Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу AB, равен \( \angle AOB \).

По свойству вписанного угла:

\[ \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB \]

Подставим значение \( \angle ACB = 25^{\circ} \):

\[ \angle AOB = 2 \cdot 25^{\circ} = 50^{\circ} \]

Углы AOD и AOB являются смежными, если точки B, O, D лежат на одной прямой, или вертикальными, если AC и BD пересекаются. В данном случае AC и BD — диаметры, проходящие через центр О. Углы AOD и BOC являются вертикальными.

Также, углы AOD и AOB являются смежными, если точки B, O, D лежат на одной прямой, и AC пересекает BD. В данном случае, AC и BD — диаметры, поэтому они пересекаются в точке О. Угол AOD и угол BOC — вертикальные углы.

Угол BOC равен углу AOD как вертикальные углы.

Углы AOB и BOC — смежные, их сумма равна 180°.

\[ \angle AOB + \angle BOC = 180^{\circ} \]

\[ 50^{\circ} + \angle BOC = 180^{\circ} \]

\[ \angle BOC = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ} \]

Так как \( \angle AOD = \angle BOC \) (вертикальные углы), то

\[ \angle AOD = 130^{\circ} \]

Ответ: 130.