4) P=?

Решение:

Обозначим точки касания окружности со сторонами четырехугольника как E, F, G, H.

Пусть стороны четырехугольника AB, BC, CD, DA касаются окружности в точках E, F, G, H соответственно.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем:

• AE = AH
• BE = BF
• CF = CG
• DG = DH

Из рисунка видно, что:

• Сторона AB состоит из отрезков AE и EB. Длина отрезка, касающегося окружности от вершины B, равна 4. Следовательно, BE = 4.
• Сторона BC состоит из отрезков BF и FC. Так как BF = BE = 4, то FC = BC - BF = 12 - 4 = 8.
• Сторона CD состоит из отрезков CG и GD. Так как CF = CG = 8, то GD = CD - CG = 10 - 8 = 2.
• Сторона DA состоит из отрезков DH и HA. Так как DG = DH = 2, то HA = DA - DH = 6 - 2 = 4.
• Проверим равенство AE = AH. Из рисунка, AE = AB - BE = AB - 4. Также, AH = DA - DH = DA - 2.
• Мы нашли, что AE = AH. Из условия задачи, сторона AB имеет длину, соответствующую отрезку 4, значит AE = 4.
• Тогда, AB = AE + EB = 4 + 4 = 8.
• BC = BF + FC = 4 + 8 = 12 (дано).
• CD = CG + GD = 8 + 2 = 10 (дано).
• DA = DH + HA = 2 + 4 = 6 (дано).

Периметр четырехугольника P = AB + BC + CD + DA.

P = 8 + 12 + 10 + 6 = 36.

Ответ: 36