4. Периметр ромба равен 40 см, а одна из его диагоналей — 12 см. Найдите площадь ромба.

Решение:

Площадь ромба можно найти по формуле: \( S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей.

1. Сначала найдём длину стороны ромба. Периметр ромба равен сумме длин четырёх равных сторон: \( P = 4a \).
2. Так как \( P = 40 \text{ см} \), то сторона \( a = \frac{40}{4} = 10 \text{ см} \).
3. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Таким образом, половина одной диагонали, половина другой диагонали и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник.
4. Пусть \( d_1 = 12 \text{ см} \). Тогда половина этой диагонали равна \( \frac{12}{2} = 6 \text{ см} \).
5. Обозначим вторую диагональ как \( d_2 \). Половина второй диагонали равна \( \frac{d_2}{2} \).
6. Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному стороной ромба и половинами диагоналей: \[ a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \]
7. Подставим известные значения: \[ 10^2 = 6^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \] \[ 100 = 36 + (\frac{d_2}{2})^2 \]
8. Найдём \( (\frac{d_2}{2})^2 \): \[ (\frac{d_2}{2})^2 = 100 - 36 = 64 \]
9. Найдём \( \frac{d_2}{2} \): \[ \frac{d_2}{2} = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]
10. Теперь найдём длину второй диагонали \( d_2 \): \[ d_2 = 8 \text{ см} \cdot 2 = 16 \text{ см} \]
11. Вычислим площадь ромба: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = \frac{1}{2} \cdot 192 \text{ см}^2 = 96 \text{ см}^2 \]

Ответ: 96 см².