4. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 40°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Решение:

Диагонали ромба делят его углы пополам и пересекаются под прямым углом (90°). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. В этом треугольнике один из острых углов равен половине одного из углов ромба, а другой — половине другого угла ромба. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к стороне (высота), образует с диагоналями углы. Если этот угол равен 40°, то в прямоугольном треугольнике, образованном половиной диагонали, высотой и отрезком на диагонали, один из острых углов равен 40°. Второй острый угол этого треугольника равен \( 90° - 40° = 50° \). Этот угол \( 50° \) является половиной тупого угла ромба, так как он соответствует углу при вершине, делённому пополам другой диагональю. Значит, тупой угол ромба равен \( 50° \cdot 2 = 100° \). Тогда острый угол ромба равен \( 180° - 100° = 80° \).

Ответ: 80°.