№4. Плоскость α пересекает стороны MP и PK треугольника MPK в точках X и Y соответственно. Прямая MK параллельна плоскости α. Найдите длину отрезка XY, если MX:XP = 3:5 и MK = 12 см.

Решение:

Дано: \( \triangle MPK \). Плоскость \( \alpha \) пересекает MP в точке X, PK в точке Y. MK \( \parallel \) \( \alpha \).
MX : XP = 3 : 5.
MK = 12 см.
Найти: XY.

Решение:

1. Так как прямая MK параллельна плоскости \( \alpha \), то она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости, если бы MK пересекала эту плоскость. В данном случае, MK параллельна линии пересечения плоскости \( \alpha \) с плоскостью треугольника MPK, которая проходит через точки X и Y. Следовательно, MK \( \parallel \) XY.
2. Рассмотрим \( \triangle MPK \). Отрезок XY соединяет стороны MP и PK.
3. Так как MK \( \parallel \) XY, то \( \triangle MXY \) подобен \( \triangle MPK \) по двум углам (угол при вершине M и P равны соответственно, угол при вершине K и Y равны соответственно, как накрест лежащие при параллельных прямых MK и XY и секущих MP и PK).
4. По условию, MX : XP = 3 : 5. Это значит, что отрезок MP разделен точкой X в отношении 3:5. Общее количество частей равно 3 + 5 = 8.
5. Значит, MX относится к MP как 3 к 8: \( \frac{MX}{MP} = \frac{3}{3+5} = \frac{3}{8} \).
6. По свойству подобных треугольников, отношение соответствующих сторон равно: \( \frac{XY}{MK} = \frac{MX}{MP} \).
7. Подставим известные значения: \( \frac{XY}{12 \text{ см}} = \frac{3}{8} \).
8. Вычислим длину отрезка XY: \( XY = 12 \text{ см} \cdot \frac{3}{8} = \frac{36}{8} \text{ см} = 4.5 \text{ см} \).

Ответ: XY = 4.5 см.