4. По данным на рисунке найдите |→ME − →OK + →EK − →NK|, если EK = 5 и MK = 8.

По отметкам на рисунке EKNM — ромб, а O — точка пересечения его диагоналей. Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны.

Обозначим \(\overrightarrow{ME}=\mathbf u\), \(\overrightarrow{MN}=\mathbf v\). Тогда для параллелограмма EKNM: \(\overrightarrow{MK}=\mathbf u+\mathbf v\), \(\overrightarrow{EN}=\mathbf v-\mathbf u\), а \(\overrightarrow{OK}=\frac{\mathbf u+\mathbf v}{2}\).

Упростим выражение:

\(\overrightarrow{ME}-\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{EK}-\overrightarrow{NK}=\mathbf u-\frac{\mathbf u+\mathbf v}{2}+\mathbf v-\mathbf u=\frac{\mathbf v-\mathbf u}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{EN}\).

Половина диагонали MK равна \(8:2=4\). В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, гипотенуза равна EK = 5, поэтому половина EN равна \(\sqrt{5^2-4^2}=3\). Следовательно, длина выражения равна 3.

Ответ: 3.