4. Постройте график функции \(y=\frac{2x+1}{2x^2+x}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения исходной функции: \(x\ne 0\) и \(x\ne -\frac12\). Сокращая дробь, получаем \(y=\frac1x\), но точка с координатами \((-\frac12,-2)\) из графика исключена; при \(x=0\) вертикальная асимптота.

График функции изображён ниже: кружок обозначает исключённую точку.

В точке пересечения должно выполняться \(\frac1x=kx\), где \(x\ne 0,-\frac12\). Поэтому \(kx^2=1\). Если \(k\le 0\), решений нет. Если \(k>0\), уравнение даёт две точки пересечения, кроме случая, когда одна из них исключена из графика.

Исключённое значение абсциссы \(x=-\frac12\) удовлетворяет уравнению пересечения при \(k\cdot(-\frac12)^2=1\), откуда \(k=4\). При этом второй корень \(x=\frac12\) допустим, поэтому остаётся ровно одна общая точка.

Ответ: \(k=4\).