4. Постройте график функции \(y=\frac{(x^2+6,25)(x-1)}{1-x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne1\). При этих значениях \(\frac{x-1}{1-x}=-1\), поэтому \(y=-x^2-6,25\). График — парабола, из которой исключена точка \((1;-7,25)\).

Пересечения с прямой \(y=kx\) определяются уравнением \(-x^2-6,25=kx\), или \(x^2+kx+6,25=0\), при условии \(x\ne1\).

При нулевом дискриминанте получается одна точка касания: \(k^2-25=0\), откуда \(k=5\) или \(k=-5\). В обоих случаях корень допустим. Кроме того, при \(k=-7,25\) один из корней равен \(x=1\) и исключён, а второй корень допустим: значит, общая точка ровно одна.

Ответ: \(k=5\), \(k=-5\) или \(k=-7,25\).