4. Постройте график функции y = (x-1) \(\frac{x-1}{x+2}\)^{-1}

Решение:

Сначала упростим выражение для функции:

\( y = (x-1) \left(\frac{x-1}{x+2}\right)^{-1} = (x-1) \left(\frac{x+2}{x-1}\right) = x+2 \)

График функции \( y = x+2 \) — это прямая.

Найдем несколько точек для построения:

• При \( x = 0 \), \( y = 0+2=2 \). Точка (0, 2).
• При \( x = 1 \), \( y = 1+2=3 \). Точка (1, 3).
• При \( x = -2 \), \( y = -2+2=0 \). Точка (-2, 0).

Важно: Исходная функция не определена при \( x=1 \) и \( x=-2 \). Значит, точки \( x=1 \) и \( x=-2 \) будут выколотыми на графике. Однако, при \( x=1 \) функция упростилась до \( y=x+2 \), поэтому точка \( (1,3) \) будет обычной точкой на прямой. Точка \( (-2,0) \) будет выколотой.

Ответ: График функции — прямая \( y = x+2 \) с выколотой точкой в \( (-2, 0) \).