4. Постройте график функции y = x² - 2x - 8.

Математика, 8 класс

Дано:

• Квадратичная функция: \( y = x^{2} - 2x - 8 \)

Решение:

1. Определение направления ветвей: Коэффициент при \( x^{2} \) равен 1 (положительный), значит, ветви параболы направлены вверх.
2. Нахождение вершины параболы:
   • Абсцисса вершины (x₀) находится по формуле: \( x₀ = -b / (2a) \). В данном случае \( a=1, b=-2 \).
     \( x₀ = -(-2) / (2 · 1) = 2 / 2 = 1 \)
   • Ордината вершины (y₀) находится подстановкой x₀ в уравнение функции:
     \( y₀ = (1)^{2} - 2(1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9 \)
   • Координаты вершины: (1; -9).
3. Нахождение точек пересечения с осью OX (нули функции): Решаем уравнение \( x^{2} - 2x - 8 = 0 \).
   Используем дискриминант: \( D = b^{2} - 4ac \)
   \( D = (-2)^{2} - 4 · 1 · (-8) = 4 + 32 = 36 \)
   \( √ D = 6 \)
   \( x₁ = ( -b + √ D ) / (2a) = (2 + 6) / (2 · 1) = 8 / 2 = 4 \)
   \( x₂ = ( -b - √ D ) / (2a) = (2 - 6) / (2 · 1) = -4 / 2 = -2 \>
4. Точки пересечения с осью OX: (-2; 0) и (4; 0).
5. Нахождение точки пересечения с осью OY: При \( x=0 \), \( y = 0^{2} - 2(0) - 8 = -8 \).
6. Точка пересечения с осью OY: (0; -8).

График функции:

Ответ: График функции y = x² - 2x - 8 — парабола с вершиной в точке (1; -9), ветви которой направлены вверх. Нули функции: x = -2 и x = 4. Точка пересечения с осью OY: (0; -8).