4. Постройте график функции y = x² − 8x + 13, найдите с помощью графика: а) значение y при x = 1,5; б) значения x, при которых y = 2; в) нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0; г) промежуток, в котором функция убывает.

Приведём функцию к виду вершины, выделив полный квадрат: \(y=x^2-8x+13=(x-4)^2-3\). Поэтому вершина параболы — \((4,-3)\), ось симметрии — \(x=4\), ветви направлены вверх.

а) Подставляем \(x=1.5\): \(y=(1.5-4)^2-3=6.25-3=3.25\).

б) Приравниваем функцию к 2: \((x-4)^2-3=2\), значит \((x-4)^2=5\), откуда \(x=4\pm\sqrt5\). Приблизительно это \(x\approx1.76\) и \(x\approx6.24\).

в) Нули находим из уравнения \((x-4)^2-3=0\): \((x-4)^2=3\), поэтому \(x=4\pm\sqrt3\). Поскольку парабола направлена вверх, функция положительна вне корней и отрицательна между ними.

г) До вершины парабола убывает, после вершины возрастает. Следовательно, функция убывает на \((-\infty;4]\).

Ответ: а) 3,25; б) \(x=4-\sqrt5\) и \(x=4+\sqrt5\); в) нули \(4-\sqrt3\) и \(4+\sqrt3\), \(y>0\) при \(x<4-\sqrt3\) или \(x>4+\sqrt3\), \(y<0\) при \(4-\sqrt3<x<4+\sqrt3\); г) функция убывает на \((-\infty;4]\).