№ 4. Представьте в виде произведения: a) (x - 5)² - 36x²; б) x² - 4y² - x + 2y; в) 27x³ + y⁶.

Решение:

Задание № 4. Представим выражения в виде произведения.

а) \( (x - 5)^2 - 36x^2 \)

1. Применим формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).
2. Здесь \( a = (x - 5) \) и \( b = 6x \).
3. Подставим в формулу: \( (x - 5)^2 - (6x)^2 = ((x - 5) - 6x)((x - 5) + 6x) \).
4. Упростим выражения в скобках: \( (x - 5 - 6x)(x - 5 + 6x) = (-5x - 5)(7x - 5) \).
5. Вынесем общий множитель -5 из первой скобки: \( -5(x + 1)(7x - 5) \).

б) \( x^2 - 4y^2 - x + 2y \)

1. Сгруппируем члены: \( (x^2 - 4y^2) - (x - 2y) \).
2. Применим формулу разности квадратов к первой группе: \( (x - 2y)(x + 2y) - (x - 2y) \).
3. Вынесем общий множитель \( (x - 2y) \): \( (x - 2y)((x + 2y) - 1) \).
4. Упростим выражение во второй скобке: \( (x - 2y)(x + 2y - 1) \).

в) \( 27x^3 + y^6 \)

1. Применим формулу суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \).
2. Здесь \( a = 3x \) (поскольку \( (3x)^3 = 27x^3 \)) и \( b = y^2 \) (поскольку \( (y^2)^3 = y^6 \)).
3. Подставим в формулу: \( (3x + y^2)((3x)^2 - (3x)(y^2) + (y^2)^2) \).
4. Упростим выражение во второй скобке: \( (3x + y^2)(9x^2 - 3xy^2 + y^4) \).

Ответ:

• а) \( -5(x + 1)(7x - 5) \)
• б) \( (x - 2y)(x + 2y - 1) \)
• в) \( (3x + y^2)(9x^2 - 3xy^2 + y^4) \)