№ 4. Представьте в виде произведения: a) (x - 5)² - 36x²; б) x² - 4y² - x + 2y; в) 27x³ + y⁶.

Решение:

а) Преобразуем выражение, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).

1. Представим \( 36x^2 \) как \( (6x)^2 \).


2. Выражение примет вид: \( (x - 5)^2 - (6x)^2 \).


3. Применим формулу разности квадратов: \( ((x - 5) - 6x)((x - 5) + 6x) \).


4. Упростим: \( (x - 5 - 6x)(x - 5 + 6x) = (-5x - 5)(7x - 5) \).


5. Вынесем \( -5 \) из первой скобки: \( -5(x + 1)(7x - 5) \).

б) Сгруппируем члены выражения.

1. Сгруппируем первые два и последние два члена: \( (x^2 - 4y^2) - (x - 2y) \).


2. Первую группу представим как разность квадратов \( (x - 2y)(x + 2y) \).


3. Выражение станет: \( (x - 2y)(x + 2y) - (x - 2y) \).


4. Вынесем общий множитель \( (x - 2y) \): \( (x - 2y)((x + 2y) - 1) \).


5. Упростим: \( (x - 2y)(x + 2y - 1) \).

в) Преобразуем выражение, используя формулу суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \).

1. Представим \( 27x^3 \) как \( (3x)^3 \) и \( y^6 \) как \( (y^2)^3 \).


2. Выражение примет вид: \( (3x)^3 + (y^2)^3 \).


3. Применим формулу суммы кубов: \( (3x + y^2)((3x)^2 - (3x)(y^2) + (y^2)^2) \).


4. Упростим: \( (3x + y^2)(9x^2 - 3xy^2 + y^4) \).

Ответ:
а) \( -5(x + 1)(7x - 5) \);
б) \( (x - 2y)(x + 2y - 1) \);
в) \( (3x + y^2)(9x^2 - 3xy^2 + y^4) \).