4. При изучении масс звезд и их светимостей установлено, что для звезд, принадлежащих к главной последовательности, в интервале $$0,5M_☉ ≤ M ≤ 10M_☉$$ ( $$M_☉$$ — масса Солнца) светимость (L) звезды пропорциональна четвертой степени ее массы: $$L ~ M^4$$. Проведите необходимые расчеты и укажите на диаграмме Герцшпрунга — Рессела (рис. 30) местонахождение звезд, имеющих массу: а) $$0,5M_☉$$; б) $$5M_☉$$; в) $$10M_☉$$. Решение. a) б) в)

Для решения этой задачи нам нужно понять, как масса звезды связана с ее светимостью. По условию, светимость звезды L пропорциональна четвертой степени ее массы M, то есть L ~ M⁴.

Чтобы определить положение звезды на диаграмме Герцшпрунга — Рессела, нам нужно рассчитать относительную светимость каждой звезды по сравнению со светимостью Солнца (L_☉). Будем считать, что светимость Солнца равна 1.

• а) Звезда с массой $$0,5M_☉$$:
• Рассчитаем относительную светимость:
• \[ L = (0,5 M_☉)^4 \times L_☉ = 0,0625 M_☉^4 \times L_☉ \]
• Значит, светимость этой звезды составляет 0,0625 от светимости Солнца.
• б) Звезда с массой $$5M_☉$$:
• Рассчитаем относительную светимость:
• \[ L = (5 M_☉)^4 \times L_☉ = 625 M_☉^4 \times L_☉ \]
• Значит, светимость этой звезды составляет 625 от светимости Солнца.
• в) Звезда с массой $$10M_☉$$:
• Рассчитаем относительную светимость:
• \[ L = (10 M_☉)^4 \times L_☉ = 10000 M_☉^4 \times L_☉ \]
• Значит, светимость этой звезды составляет 10000 от светимости Солнца.

Итоговые значения для размещения на диаграмме:

• а) $$0,5M_☉$$: Масса 0,5, Светимость 0,0625
• б) $$5M_☉$$: Масса 5, Светимость 625
• в) $$10M_☉$$: Масса 10, Светимость 10000

На диаграмме Герцшпрунга — Рессела звезды с большей массой и, соответственно, большей светимостью расположены в верхнем левом углу (более яркие и горячие). Звезды с меньшей массой и светимостью — в нижнем правом углу (менее яркие и холодные).