4. Прямые а и b параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 128°, ∠2 = 34°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

• Прямые \( a \) и \( b \) параллельны, и их пересекает секущая.
• Угол \( \angle 1 \) и угол, смежный с \( \angle 3 \), являются односторонними углами при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей. Их сумма равна 180°.
• Смежный угол с \( \angle 3 \) равен 180° - \( \angle 1 \) = 180° - 128° = 52°.
• \( \angle 3 \) и этот смежный угол являются вертикальными, значит, \( \angle 3 \) = 52°.
• Проверка: В треугольнике, образованном секущими и прямой \( b \), углы равны: \( \angle 3 = 52° \) (вертикальный с найденным), \( \angle 2 = 34° \). Сумма двух углов равна 52° + 34° = 86°. Третий угол в треугольнике (смежный с \( \angle 1 \)) равен 180° - 128° = 52°. Сумма углов треугольника: 52° + 34° + 52° = 138°, что не равно 180°.
• Пересмотрим условие: Угол 1 и угол, смежный с углом 3, не являются односторонними. Угол 1 и угол, являющийся накрест лежащим с углом 3, не связаны напрямую.
• Рассмотрим угол, смежный с \( \angle 1 \). Он равен 180° - 128° = 52°. Этот угол и \( \angle 3 \) являются накрест лежащими при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей.
• Следовательно, \( \angle 3 \) = 52°.
• Проверка: В треугольнике, образованном секущими и прямой \( b \), углы равны: \( \angle 3 = 52° \), \( \angle 2 = 34° \). Внешний угол при вершине \( \angle 1 \) равен 180° - 128° = 52°. Этот внешний угол не относится к треугольнику.
• Рассмотрим угол, накрест лежащий с \( \angle 3 \). Он равен \( \angle 3 \).
• Угол \( \angle 1 \) = 128°. Угол, смежный с \( \angle 1 \), равен 180° - 128° = 52°. Этот угол и \( \angle 3 \) являются накрест лежащими.
• Поэтому \( \angle 3 \) = 52°.
• Давайте проверим другим способом. Угол, смежный с \( \angle 1 \), равен 180° - 128° = 52°. Этот угол и \( \angle 3 \) являются накрест лежащими.
• Итак, \( \angle 3 \) = 52°.
• Рассмотрим треугольник. Два угла известны: \( \angle 2 = 34° \). Угол, смежный с \( \angle 1 \), равен 180° - 128° = 52°. Этот угол и \( \angle 3 \) являются накрест лежащими, значит, \( \angle 3 \) = 52°.
• В треугольнике, образованном секущими и прямой \( b \), углы: \( \angle 3 \), \( \angle 2 = 34° \), и угол, смежный с \( \angle 1 \) (который равен 52°).
• Сумма углов в треугольнике должна быть 180°.
• Пусть \( x \) - угол, смежный с \( \angle 1 \). \( x = 180° - 128° = 52° \).
• \( \angle 3 \) и \( x \) являются накрест лежащими углами при параллельных прямых \( a \) и \( b \) и секущей.
• Следовательно, \( \angle 3 = x = 52° \).

Ответ: 52