4. Расстояние между основаниями медианы и высоты прямоугольного треугольника, проведенными к гипотенузе, равно 7 см. Найдите катеты треугольника, если его гипотенуза равна 50 см.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Проведем высоту CH и медиану CM к гипотенузе AB. По условию, расстояние между основаниями медианы и высоты, проведенными к гипотенузе, равно 7 см. Это означает, что расстояние между точками H и M равно 7 см, то есть \( MH = 7 \) см. Гипотенуза AB равна 50 см.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, \( CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25 \) см.

Высота CH делит гипотенузу AB на два отрезка AH и HB. В прямоугольном треугольнике, высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между отрезками, на которые она делит гипотенузу: \( CH^2 = AH \cdot HB \).

Также, в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы на прилежащий к этому катету отрезок гипотенузы: \( AC^2 = AH \cdot AB \) и \( BC^2 = HB \cdot AB \).

Точка M — середина гипотенузы AB. Следовательно, \( AM = MB = \frac{1}{2} AB = 25 \) см.

Рассмотрим два случая расположения точек H и M на гипотенузе.

Случай 1: Точка H находится между A и M.

Тогда \( MH = AM - AH \). Подставляя известные значения, получим: \( 7 = 25 - AH \) \(\implies\) \( AH = 25 - 7 = 18 \) см.

Найдем HB: \( HB = AB - AH = 50 - 18 = 32 \) см.

Теперь найдем катеты:

\( AC^2 = AH \cdot AB = 18 \cdot 50 = 900 \) \(\implies\) \( AC = \sqrt{900} = 30 \) см.

\( BC^2 = HB \cdot AB = 32 \cdot 50 = 1600 \) \(\implies\) \( BC = \sqrt{1600} = 40 \) см.

Проверим по теореме Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500 \). \( AB^2 = 50^2 = 2500 \). Условие выполняется.

Случай 2: Точка M находится между A и H.

Тогда \( MH = AH - AM \). Подставляя известные значения, получим: \( 7 = AH - 25 \) \(\implies\) \( AH = 25 + 7 = 32 \) см.

Найдем HB: \( HB = AB - AH = 50 - 32 = 18 \) см.

Теперь найдем катеты:

\( AC^2 = AH \cdot AB = 32 \cdot 50 = 1600 \) \(\implies\) \( AC = \sqrt{1600} = 40 \) см.

\( BC^2 = HB \cdot AB = 18 \cdot 50 = 900 \) \(\implies\) \( BC = \sqrt{900} = 30 \) см.

В обоих случаях катеты треугольника равны 30 см и 40 см.

Ответ: 30 см и 40 см.