4. Разложите на множители: a) 3x³y³ - 3x⁴y² + 9x²y; б) 2x - x² + y² + 2y.

Решение:

а) Разложим выражение 3x³y³ - 3x⁴y² + 9x²y на множители.

1. Вынесем общий множитель. Общий множитель здесь — \( 3x^2y \).
2. Вынесем \( 3x^2y \> за скобки: \( 3x^2y(xy^2 - xy - 3) \).

б) Разложим выражение 2x - x² + y² + 2y на множители.

1. Перегруппируем члены: \( -x^2 + 2x + y^2 + 2y \).
2. Выделим полные квадраты: \( -(x^2 - 2x) + (y^2 + 2y) \).
3. Дополним до полных квадратов: \( -(x^2 - 2x + 1 - 1) + (y^2 + 2y + 1 - 1) \)
4. \( -( (x-1)^2 - 1) + ( (y+1)^2 - 1) \)
5. \( -(x-1)^2 + 1 + (y+1)^2 - 1 \)
6. \( (y+1)^2 - (x-1)^2 \).
7. Это разность квадратов. Применим формулу \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), где \( a = y+1 \) и \( b = x-1 \).
8. \( ((y+1) - (x-1))((y+1) + (x-1)) \)
9. \( (y+1-x+1)(y+1+x-1) \)
10. \( (y-x+2)(y+x) \).

Ответ: а) \( 3x^2y(xy^2 - xy - 3) \); б) \( (y-x+2)(y+x) \).