4. Реши задачу с построением чертежа и подробным решением: перпендикуляр, проведённый из вершины тупого угла ромба, делит его пополам. Периметр ромба равен 36 см. Найдите углы и меньшую диагональ ромба.

Решение. Понимаем условие так: перпендикуляр из вершины тупого угла опущен на противоположную сторону и делит ромб на две равные части.

1. Найдём сторону ромба: все четыре стороны равны, поэтому \(a=36:4=9\) см.

2. Обозначим тупой угол ромба через \(\alpha\). Высота из его вершины делит противоположную сторону пополам. В прямоугольном треугольнике у основания высоты горизонтальная проекция стороны ромба равна половине стороны, то есть \(a/2\). Поэтому \(|\cos\alpha|=(a/2)/a=1/2\). Так как угол тупой, \(\alpha=120^\circ\).

3. Соседние углы параллелограмма в сумме равны \(180^\circ\), значит острый угол равен \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\).

4. Меньшая диагональ соединяет вершины острых углов. Она является стороной треугольника с двумя сторонами по 9 см и углом между ними \(120^\circ\). По теореме косинусов:

\[d^2=9^2+9^2-2\cdot9\cdot9\cos120^\circ=81+81+81=243,\qquad d=9\sqrt3\text{ см}.\]

Ответ: углы ромба — 60°, 120°, 60°, 120°; меньшая диагональ — \(9\sqrt3\) см.