4) Решить систему: \(\begin{cases}\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}=\frac{4}{3},\\ xy=9.\end{cases}\)

Так как четвёртые корни определены для действительных чисел только при \(x,y\ge 0\), положим \(a=\sqrt[4]{x}\), \(b=\sqrt[4]{y}\). Тогда \(a,b\ge 0\) и \(a+b=\frac{4}{3}\).

1. Из \(xy=9\) следует \((ab)^4=9\), поэтому \(ab=\sqrt[4]{9}=\sqrt{3}\).

2. Для неотрицательных \(a,b\) верно \((a+b)^2\ge 4ab\). Но здесь \((a+b)^2=\frac{16}{9}\), а \(4ab=4\sqrt{3}\), причём \(\frac{16}{9}<4\sqrt{3}\). Получено противоречие.

Следовательно, действительных решений система не имеет.

Ответ: решений нет.