4. Решить систему неравенств $$\begin{cases} \sin x > \cos 2x, \\ 0 \le x \le 2\pi \end{cases}$$

Для решения этой системы неравенств, мы сначала преобразуем неравенство \(\sin x > \cos 2x\). Используем формулу косинуса двойного угла \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\).

\(\sin x > 1 - 2\sin^2 x\)

\(2\sin^2 x + \sin x - 1 > 0\)

Пусть \(y = \sin x\). Тогда получим квадратное неравенство:

\(2y^2 + y - 1 > 0\)

Найдем корни квадратного уравнения \(2y^2 + y - 1 = 0\).

\(y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}\)

Корни: \(y_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) и \(y_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1\).

Таким образом, неравенство \(2y^2 + y - 1 > 0\) выполняется при \(y < -1\) или \(y > \frac{1}{2}\).

Учитывая, что \(y = \sin x\), и \(-1 \le \sin x \le 1\), условие \(y < -1\) невозможно.

Остается условие \(\sin x > \frac{1}{2}\).

Теперь рассмотрим это неравенство в пределах \(0 \le x \le 2\pi\).

Значение \(\sin x = \frac{1}{2}\) достигается при \(x = \frac{\pi}{6}\) и \(x = \frac{5\pi}{6}\).

Поскольку \(\sin x > \frac{1}{2}\), решениями будут интервалы, где синус больше \(\frac{1}{2}\). На отрезке \([0, 2\pi]\) это:

\(\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}\)

Вторая часть системы — это ограничение \(0 \le x \le 2\pi\), которое уже учтено.

Таким образом, решение системы неравенств — это интервал \(x \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right)\).

Длина полученного промежутка \(l\) равна разности конечного и начального значений:

\(l = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}\)

В ответе нужно записать число \(\frac{6l}{\pi}\).

\(\frac{6l}{\pi} = \frac{6 \cdot \frac{2\pi}{3}}{\pi} = \frac{\frac{12\pi}{3}}{\pi} = \frac{4\pi}{\pi} = 4\)

Ответ: 4