4. Решить систему уравнений: 1) {2√x−√y=5, √x√y=3}

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} 2\sqrt{x} - \sqrt{y} = 5 \\ \sqrt{x}\sqrt{y} = 3 \end{cases} \)

Введём замену переменных: \( a = \sqrt{x} \) и \( b = \sqrt{y} \). Тогда система примет вид:

\( \begin{cases} 2a - b = 5 \\ ab = 3 \end{cases} \)

Из второго уравнения выразим \( b \): \( b = \frac{3}{a} \).

Подставим это в первое уравнение:

\( 2a - \frac{3}{a} = 5 \)

Умножим обе части на \( a \) (при условии \( a \neq 0 \)):

\( 2a^2 - 3 = 5a \)

Приведём к квадратному уравнению:

\( 2a^2 - 5a - 3 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \]

Найдем корни \( a \):

\[ a_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]

\[ a_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \]

Так как \( a = \sqrt{x} \), то \( a \) должно быть неотрицательным. Следовательно, \( a = 3 \).

Теперь найдём \( b \):

\[ b = \frac{3}{a} = \frac{3}{3} = 1 \]

Возвращаемся к исходным переменным:

\( \sqrt{x} = a = 3 \) \( \Rightarrow x = 3^2 = 9 \)

\( \sqrt{y} = b = 1 \) \( \Rightarrow y = 1^2 = 1 \)

Проверим решение:

\( 2\sqrt{9} - \sqrt{1} = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5 \) (Верно)

\( \sqrt{9}\sqrt{1} = 3 \cdot 1 = 3 \) (Верно)

Ответ: x = 9, y = 1.