4. Решить систему уравнений: 2) {x+y=9, 2^x - 2^y = 16}

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 9 \\ 2^x - 2^y = 16 \end{cases} \)

Из первого уравнения выразим \( y \): \( y = 9 - x \).

Подставим это во второе уравнение:

\[ 2^x - 2^{9-x} = 16 \]

\[ 2^x - \frac{2^9}{2^x} = 16 \]

Введём замену переменной: \( t = 2^x \). Тогда \( t > 0 \).

\[ t - \frac{512}{t} = 16 \]

Умножим обе части на \( t \):

\[ t^2 - 512 = 16t \]

Приведём к квадратному уравнению:

\[ t^2 - 16t - 512 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-512) = 256 + 2048 = 2304 \]

Найдём корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{16 + \sqrt{2304}}{2 \cdot 1} = \frac{16 + 48}{2} = \frac{64}{2} = 32 \]

\[ t_2 = \frac{16 - \sqrt{2304}}{2 \cdot 1} = \frac{16 - 48}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \]

Так как \( t = 2^x \), то \( t \) должно быть положительным. Следовательно, \( t = 32 \).

Возвращаемся к замене \( t = 2^x \):

\[ 2^x = 32 \]

\[ 2^x = 2^5 \]

Следовательно, \( x = 5 \).

Теперь найдём \( y \):

\[ y = 9 - x = 9 - 5 = 4 \]

Проверим решение:

\[ x + y = 5 + 4 = 9 \) (Верно)

\[ 2^x - 2^y = 2^5 - 2^4 = 32 - 16 = 16 \) (Верно)

Ответ: x = 5, y = 4.