№4 Решить тригонометрическое однородное уравнение первой степени: a) cos x + √3 sin x=0, б) 3cosx + 4sin x=0

Решение:

а) \( \cos x + \sqrt{3} \sin x = 0 \)

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени.

Разделим обе части уравнения на \( \cos x \) (делим на \( \cos x \), так как \( \cos x = 0 \) не является решением, если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \), и \( \sqrt{3} \sin x = \mp \sqrt{3} \neq 0 \)).

\( \frac{\cos x}{\cos x} + \frac{\sqrt{3} \sin x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x} \)

\( 1 + \sqrt{3} \operatorname{tg} x = 0 \)

\( \sqrt{3} \operatorname{tg} x = -1 \)

\( \operatorname{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \)

\( x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

\( x = -\frac{\pi}{6} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

б) \( 3 \cos x + 4 \sin x = 0 \)

Разделим обе части уравнения на \( \cos x \) (так как \( \cos x = 0 \) не является решением).

\( \frac{3 \cos x}{\cos x} + \frac{4 \sin x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x} \)

\( 3 + 4 \operatorname{tg} x = 0 \)

\( 4 \operatorname{tg} x = -3 \)

\( \operatorname{tg} x = -\frac{3}{4} \)

\( x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: а) \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \); б) \( x = \operatorname{arctg}\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \)