4. Решить уравнения: 1) sin 2x - 4 cos x = 0 2) cos 2x + 3 cos x = 1

Решение:

1. 1) Уравнение \( \sin 2x - 4 \cos x = 0 \)
   Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \).
   \( 2\sin x \cos x - 4 \cos x = 0 \)
   Выносим общий множитель \( 2\cos x \):
   \( 2\cos x (\sin x - 2) = 0 \)
   Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
   \( \text{a) } 2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
   \( \text{b) } \sin x - 2 = 0 \Rightarrow \sin x = 2 \). Это уравнение не имеет решений, так как \( \sin x \) всегда находится в диапазоне \( [-1; 1] \).
2. 2) Уравнение \( \cos 2x + 3 \cos x = 1 \)
   Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \).
   \( (2\cos^2 x - 1) + 3 \cos x = 1 \)
   \( 2\cos^2 x + 3 \cos x - 2 = 0 \)
   Это квадратное уравнение относительно \( \cos x \). Сделаем замену: \( y = \cos x \).
   \( 2y^2 + 3y - 2 = 0 \)
   Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \).
   \( y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
   \( y_1 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
   \( y_2 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2 \)
   Возвращаемся к замене:
   \( \text{a) } \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
   \( \text{b) } \cos x = -2 \). Это уравнение не имеет решений, так как \( \cos x \) всегда находится в диапазоне \( [-1; 1] \).

Ответ: 1) \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \); 2) \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).