4. Решите дробно-рациональное уравнение: \(\frac{x+2}{x-3}-\frac{2x}{x+1}=0\).

Область допустимых значений: знаменатели не равны нулю, поэтому \(x\ne 3\) и \(x\ne -1\).

Умножим уравнение на общий знаменатель \((x-3)(x+1)\):

\((x+2)(x+1)-2x(x-3)=0\).

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\(x^2+3x+2-2x^2+6x=0\),
\(-x^2+9x+2=0\),
\(x^2-9x-2=0\).

По формуле корней квадратного уравнения:

\(x=\frac{9\pm\sqrt{(-9)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2}=\frac{9\pm\sqrt{89}}{2}\).

Оба корня допустимы: ни один из них не равен \(3\) или \(-1\).

Ответ: \(x=\frac{9-\sqrt{89}}{2}\) или \(x=\frac{9+\sqrt{89}}{2}\).