4. Решите логарифмическое уравнение: log4(x+5)+log4(x-1)=2

Решение:

1. Воспользуемся свойством логарифма: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b · c) \). Тогда уравнение примет вид: \( \log_4 ((x+5)(x-1)) = 2 \).
2. По определению логарифма, \( (x+5)(x-1) = 4^2 \).
3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \( x^2 - x + 5x - 5 = 16 \) \( x^2 + 4x - 21 = 0 \).
4. Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \). \( \sqrt{D} = 10 \).
5. Найдем значения x: \( x_1 = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3 \). \( x_2 = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \).
6. Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям допустимости (аргументы логарифмов должны быть положительными):
• Для \( x = 3 \): \( x+5 = 3+5 = 8 > 0 \) и \( x-1 = 3-1 = 2 > 0 \). Оба аргумента положительны.
• Для \( x = -7 \): \( x+5 = -7+5 = -2 < 0 \). Аргумент отрицательный, значит, \( x = -7 \) не является решением.

Ответ: x = 3.