4. Решите логическую задачу. В рамках программы «Доступное жильё для семей с детьми» за городом был построен небольшой посёлок. Вскоре в нём появились и первые обитатели: несколько супружеских пар с детьми. Журналист, приехавший делать репортаж, отметил, что взрослых больше, чем девочек, девочек больше, чем мальчиков, а мальчиков больше, чем семей. Мальчиками и девочками журналист, конечно, считает только детей, а не взрослых. Среди новосёлов не было семей с одинаковым числом детей. У каждого мальчика, по меньшей мере, одна сестра и не более одного брата. В одной из семей воспитывают пятерых детей, что больше, чем во всех остальных, вместе взятых. Выберите все верные суждения. Варианты ответов: 1) В посёлке живут не менее 6 взрослых. 2) В каждой семье есть мальчик. 3) В одной из семей поровну мальчиков и девочек. 4) Среди семей есть однодетная. 5) В посёлке взрослых больше, чем детей.

Обозначим число семей через n. В каждой семье двое взрослых, поэтому взрослых 2n.

В семье с пятью детьми мальчиков не может быть больше одного: по условию у каждого мальчика не более одного брата. Поскольку у каждого мальчика есть сестра, возможны два состава семьи: 1 мальчик и 4 девочки либо 2 мальчика и 3 девочки.

Пусть в остальных семьях суммарно r детей. По условию r < 5. Всего мальчиков больше, чем семей, значит, мальчиков не менее n + 1. Но мальчиков не более r + 2, откуда n ≤ r + 1 ≤ 5. При этом девочек больше, чем мальчиков, а взрослых больше, чем девочек, то есть девочек не более 2n − 1. Поэтому общее число детей меньше числа взрослых. Поскольку в семье из пяти детей есть не менее трёх девочек, для строгого выполнения условий необходимо как минимум две семьи; значит, взрослых не менее 4, но из условий «мальчиков больше семей» и «мальчиков меньше девочек меньше взрослых» следует, что взрослых не менее 6.

Проверим утверждения:

1. Верно. Взрослых не менее 6.
2. Неверно. Из условия не следует, что в каждой семье есть мальчик.
3. Неверно. В семье с пятью детьми число мальчиков не превышает двух, поэтому число девочек там больше; для остальных семей равенство не вынуждается.
4. Верно. Число детей в остальных семьях в сумме меньше пяти, а числа детей в семьях различны. Чтобы мальчиков было больше числа семей при соблюдении остальных условий, среди остальных семей должна быть семья с одним ребёнком.
5. Верно. По условию взрослых больше девочек, а девочек больше мальчиков; с учётом описанного состава семьи с пятью детьми и ограничений на число мальчиков общее число детей меньше числа взрослых.

Ответ: 1, 4, 5.

Примечание: на фотографии нижняя часть задания обрезана после пятого варианта; если ниже были дополнительные варианты, для их выбора нужен полный снимок.