4. Решите неравенство (х-7)² <√11(x - 7).

Краткое пояснение:

ОДЗ:

• Для того чтобы корень √(x-7) имел смысл, выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( x - 7 ≥ 0 \).
• Отсюда получаем: \( x ≥ 7 \).

Решение неравенства:

Исходное неравенство: \( (x-7)^2 < √{11}(x-7) \)

• Перенесем все члены в одну сторону: \( (x-7)^2 - √{11}(x-7) < 0 \).
• Вынесем общий множитель \( (x-7) \) за скобки: \( (x-7) ig( (x-7) - √{11} ig) < 0 \).
• Раскроем скобки: \( (x-7)(x - 7 - √{11}) < 0 \).

Теперь у нас есть произведение двух множителей, которое должно быть меньше нуля. Это возможно, когда множители имеют разные знаки.

• Случай 1: \( x-7 > 0 \) и \( x - 7 - √{11} < 0 \).
• Из \( x-7 > 0 \) следует \( x > 7 \).
• Из \( x - 7 - √{11} < 0 \) следует \( x < 7 + √{11} \).
• Объединяя эти условия, получаем: \( 7 < x < 7 + √{11} \).
• Случай 2: \( x-7 < 0 \) и \( x - 7 - √{11} > 0 \).
• Из \( x-7 < 0 \) следует \( x < 7 \).
• Из \( x - 7 - √{11} > 0 \) следует \( x > 7 + √{11} \).
• Эти условия противоречат друг другу (невозможно быть одновременно меньше 7 и больше \( 7 + √{11} \)), поэтому этот случай не имеет решений.

Объединение с ОДЗ:

• Полученный интервал \( (7; 7 + √{11}) \) полностью удовлетворяет условию ОДЗ \( x ≥ 7 \), так как нижняя граница интервала (7) включена в ОДЗ.

Ответ: \( (7; 7 + √{11}) \).