4. Решите неравенство log₁⁄₂(x - 3) > 2.

Решение:

Данное неравенство содержит логарифм. Для его решения необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) и свойства логарифмической функции.

1. ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: \( x - 3 > 0 \). Отсюда следует, что \( x > 3 \).
2. Свойства логарифмической функции: Основание логарифма равно \( \frac{1}{2} \). Так как основание \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \), логарифмическая функция является убывающей. При решении неравенства с убывающей функцией знак неравенства меняется на противоположный.
3. Преобразуем неравенство: Запишем число 2 в виде логарифма по основанию \( \frac{1}{2} \): \( 2 = \log_{\frac{1}{2}} \left( (\frac{1}{2})^2 \right) = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{4} \right) \).
4. Применяем свойство: \( \log_{\frac{1}{2}}(x - 3) > \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{4}\right) \). Поскольку функция убывающая, меняем знак неравенства: \( x - 3 < \frac{1}{4} \).
5. Решаем полученное линейное неравенство: \( x < 3 + \frac{1}{4} \) \( x < 3\frac{1}{4} \).
6. Объединяем решение с ОДЗ: Мы получили два условия: \( x > 3 \) и \( x < 3\frac{1}{4} \). Объединяя их, получаем интервал: \( 3 < x < 3\frac{1}{4} \).

Ответ: \( (3; 3\frac{1}{4}) \).