4 Решите неравенство log3(2x + 3) + 2log5x ≤ 3log5(2x+3). log5x.

Краткое пояснение:

Ограничения:

• \[ 2x + 3 > 0 \implies x > -3/2 \]
• \[ x > 0 \]
• Объединяя, получаем: \[ x > 0 \]

Решение:

1. Приведем неравенство к одному основанию. Используем свойство alog_b a = rac{\log_c a}{\log_c b} . Пусть общий логарифм будет с основанием 5.
2. \[ \frac{\log_5(2x+3)}{\log_5 3} + 2\log_5 x \le 3\log_5(2x+3) \cdot \frac{\log_5 x}{\log_5 5} \]
3. \[ \frac{\log_5(2x+3)}{\log_5 3} + 2\log_5 x \le 3\log_5(2x+3) \log_5 x \]
4. Сделаем замену: \[ a = \log_5(2x+3), \quad b = \log_5 x \]
5. \[ \frac{a}{\log_5 3} + 2b \le 3ab \]
6. \[ a + 2b \log_5 3 \le 3ab \log_5 3 \]
7. \[ a \ge 0 \text{ (так как } 2x+3 > 1 \text{ при } x > 0)} \text{ и } b \text{ может быть любым} \]
8. Перенесем все в одну сторону:
9. \[ 3ab \log_5 3 - 2b \log_5 3 - a \le 0 \]
10. Разложим на множители, если возможно. Это сложный путь. Попробуем другую замену.
11. Вернемся к исходному неравенству:
12. \[ \log_3(2x+3) + 2 ext{log}_5 x ≤ 3 ext{log}_5(2x+3) ext{log}_5 x \]
13. Перенесем все в одну часть:
14. \[ 2 ext{log}_5 x - 3 ext{log}_5(2x+3) ext{log}_5 x + ext{log}_3(2x+3) ≤ 0 \]
15. \[ ext{log}_5 x (2 - 3 ext{log}_5(2x+3)) + ext{log}_3(2x+3) ≤ 0 \]
16. Эта форма также сложна. Переформулируем.
17. \[ ext{log}_5(2x+3) + 2 ext{log}_5 x ≤ 3 ext{log}_5(2x+3) ext{log}_5 x \]
18. Сгруппируем члены с ext{log}_5(2x+3):
19. \[ 2 ext{log}_5 x ≤ ext{log}_5(2x+3) (3 ext{log}_5 x - 1) \]
20. Рассмотрим два случая, исходя из знака (3 ext{log}_5 x - 1) .
21. Случай 1: (3 ext{log}_5 x - 1) > 0 .
22. \[ 3 ext{log}_5 x > 1 \implies ext{log}_5 x > 1/3 \implies x > 5^{1/3} \]
23. Тогда:
24. \[ \frac{2 ext{log}_5 x}{3 ext{log}_5 x - 1} ≤ ext{log}_5(2x+3) \]
25. Случай 2: (3 ext{log}_5 x - 1) < 0 .
26. \[ 3 ext{log}_5 x < 1 \implies ext{log}_5 x < 1/3 \implies 0 < x < 5^{1/3} \]
27. Тогда (знак неравенства меняется):
28. \[ \frac{2 ext{log}_5 x}{3 ext{log}_5 x - 1} ≥ ext{log}_5(2x+3) \]
29. Это все еще сложно. Перепишем исходное неравенство, используя ext{log}_a b = rac{1}{ ext{log}_b a} .
30. \[ ext{log}_3(2x+3) + 2 ext{log}_5 x ≤ 3 ext{log}_5(2x+3) ext{log}_5 x \]
31. \[ rac{ ext{ln}(2x+3)}{ ext{ln} 3} + rac{2 ext{ln} x}{ ext{ln} 5} ≤ 3 rac{ ext{ln}(2x+3)}{ ext{ln} 5} rac{ ext{ln} x}{ ext{ln} 5} \]
32. Умножим на ext{ln} 3 ext{ln} 5 (положительное число):
33. \[ ext{ln}(2x+3) ext{ln} 5 + 2 ext{ln} x ext{ln} 3 ≤ 3 ext{ln}(2x+3) ext{ln} x \]
34. \[ ext{ln}(2x+3) ext{ln} 5 - 3 ext{ln}(2x+3) ext{ln} x + 2 ext{ln} x ext{ln} 3 ≤ 0 \]
35. \[ ext{ln}(2x+3)( ext{ln} 5 - 3 ext{ln} x) + 2 ext{ln} x ext{ln} 3 ≤ 0 \]
36. \[ ext{ln}(2x+3)( ext{ln} 5 - ext{ln} x^3) + 2 ext{ln} x ext{ln} 3 ≤ 0 \]
37. \[ ext{ln}(2x+3) ext{ln} rac{5}{x^3} + 2 ext{ln} x ext{ln} 3 ≤ 0 \]
38. Рассмотрим функцию f(x) = ext{log}_3(2x+3) + 2 ext{log}_5 x - 3 ext{log}_5(2x+3) ext{log}_5 x .
39. Это неравенство можно решить, сделав замену a = ext{log}_5(2x+3) , b = ext{log}_5 x .
40. rac{a}{ ext{log}_5 3} + 2b ≤ 3ab
41. a + 2b ext{log}_5 3 ≤ 3ab ext{log}_5 3
42. a - 3ab ext{log}_5 3 + 2b ext{log}_5 3 ≤ 0
43. a(1 - 3b ext{log}_5 3) + 2b ext{log}_5 3 ≤ 0
44. ext{log}_5(2x+3)(1 - 3 ext{log}_5 x ext{log}_5 3) + 2 ext{log}_5 x ext{log}_5 3 ≤ 0
45. ext{log}_5(2x+3)(1 - ext{log}_5 x^3 ext{log}_5 3) + 2 ext{log}_5 x ext{log}_5 3 ≤ 0
46. ext{log}_5(2x+3)(1 - ext{log}_5 x^3 rac{ ext{ln} 3}{ ext{ln} 5}) + 2 ext{log}_5 x rac{ ext{ln} 3}{ ext{ln} 5} ≤ 0
47. ext{log}_5(2x+3)( ext{ln} 5 - ext{ln} x^3 ext{ln} 3) + 2 ext{ln} x ext{ln} 3 ≤ 0
48. ext{log}_5(2x+3)( ext{ln} 5 - ext{ln} 3^{ ext{log}_3 x^3}) ≤ 0
49. ext{log}_5(2x+3)( ext{ln} 5 - ext{ln} x^3) ≤ 0
50. ext{log}_5(2x+3) ext{ln} rac{5}{x^3} ≤ 0
51. rac{ ext{ln}(2x+3)}{ ext{ln} 5} ext{ln} rac{5}{x^3} ≤ 0
52. \[ ext{ln}(2x+3) ext{ln} rac{5}{x^3} ≤ 0 \]
53. Так как x > 0 , то ext{ln}(2x+3) > ext{ln} 3 , что является положительным числом.
54. Следовательно, нам нужно, чтобы ext{ln} rac{5}{x^3} ≤ 0 .
55. rac{5}{x^3} ≤ 1
56. 5 ≤ x^3
57. x^3 ≥ 5
58. x ≥ ext{5}^{1/3}
59. Учитывая ограничения x > 0 , получаем x ≥ ext{5}^{1/3} .

Ответ: [5^{1/3}; +∞)