4. Решите систему уравнений { 3x - 2y + z = 10; x + 5y - 2z = −15; 2x - 2y - z = 3.

Решение:

Решим систему методом Гаусса или методом подстановки. Воспользуемся методом сложения.

Исходная система:

\( \begin{cases} 3x - 2y + z = 10 \thinspace \thinspace &(1) \\ x + 5y - 2z = -15 \thinspace \thinspace &(2) \\ 2x - 2y - z = 3 \thinspace \thinspace &(3)
\end{cases} \)

Шаг 1: Исключим \( z \) из уравнений (2) и (3).

Умножим уравнение (1) на 2 и сложим с уравнением (2):

\( 2(3x - 2y + z) + (x + 5y - 2z) = 2(10) + (-15) \)

\( 6x - 4y + 2z + x + 5y - 2z = 20 - 15 \)

\( 7x + y = 5 \thinspace \thinspace &(4) \)

Сложим уравнения (1) и (3):

\( (3x - 2y + z) + (2x - 2y - z) = 10 + 3 \)

\( 5x - 4y = 13 \thinspace \thinspace &(5) \)

Шаг 2: Решим полученную систему из двух уравнений с двумя неизвестными (4) и (5).

\( \begin{cases} 7x + y = 5 \thinspace \thinspace &(4) \\ 5x - 4y = 13 \thinspace \thinspace &(5)
\end{cases} \)

Из уравнения (4) выразим \( y \):

\( y = 5 - 7x \)

Подставим это выражение в уравнение (5):

\( 5x - 4(5 - 7x) = 13 \)

\( 5x - 20 + 28x = 13 \)

\( 33x = 13 + 20 \)

\( 33x = 33 \)

\( x = 1 \)

Теперь найдем \( y \) подставив \( x = 1 \) в \( y = 5 - 7x \):

\( y = 5 - 7(1) \)

\( y = 5 - 7 \)

\( y = -2 \)

Шаг 3: Найдем \( z \) подставив значения \( x = 1 \) и \( y = -2 \) в одно из исходных уравнений, например, в (1):

\( 3x - 2y + z = 10 \)

\( 3(1) - 2(-2) + z = 10 \)

\( 3 + 4 + z = 10 \)

\( 7 + z = 10 \)

\( z = 10 - 7 \)

\( z = 3 \)

Проверка: Подставим \( x=1, y=-2, z=3 \) в уравнения (2) и (3):

Уравнение (2): \( 1 + 5(-2) - 2(3) = 1 - 10 - 6 = -15 \) (Верно)

Уравнение (3): \( 2(1) - 2(-2) - 3 = 2 + 4 - 3 = 3 \) (Верно)

Ответ: \( x = 1, y = -2, z = 3 \).