4. Решите, составив математическую модель, следующую задачу. Теплоход прошёл 4 км против течения реки, а затем прошёл ещё 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

Пусть \(x\) км/ч — собственная скорость теплохода. Тогда его скорость против течения равна \(x-6.5\) км/ч, а по течению — \(x+6.5\) км/ч.

По формуле \(t=\frac{s}{v}\) составим уравнение:

\[\frac{4}{x-6.5}+\frac{33}{x+6.5}=1.\]

Ограничение: \(x>6.5\).

Умножим уравнение на \((x-6.5)(x+6.5)\):

\[4(x+6.5)+33(x-6.5)=x^2-6.5^2.\]

\[4x+26+33x-214.5=x^2-42.25,\]

\[x^2-37x+146.25=0.\]

Найдём корни:

\[D=(-37)^2-4\cdot146.25=784,\]

\[x=\frac{37\pm\sqrt{784}}{2}=\frac{37\pm28}{2}.\]

Получаем \(x_1=32.5\) и \(x_2=4.5\). Корень \(4.5\) не подходит, так как собственная скорость должна быть больше скорости течения: \(x>6.5\).

Ответ: 32,5 км/ч.