4. Решите уравнение 4x⁴ - 5x² + 1 = 0. Ответ:

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной. Пусть \( t = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 4t^2 - 5t + 1 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение относительно \( t \).

1. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 \).
2. Найдем корни \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]

\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]

Теперь вернемся к замене \( t = x^2 \) и найдем значения \( x \).

• Для \( t_1 = 1 \): \( x^2 = 1 \) \( \implies \) \( x = \pm 1 \).
• Для \( t_2 = 1/4 \): \( x^2 = 1/4 \) \( \implies \) \( x = \pm \frac{1}{2} \).

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: \( x = \pm 1, x = \pm \frac{1}{2} \)