4. Решите уравнение 6^(2х-8)= 216^x

Привет! Давай решим это показательное уравнение.

Уравнение:

$$6^{2x-8} = 216^x$$

Решение:

1. Приводим к одному основанию:

   Замечаем, что $$216$$ — это $$6^3$$ (потому что $$6 × 6 = 36$$, и $$36 × 6 = 216$$).

   Теперь наше уравнение выглядит так:

   $$6^{2x-8} = (6^3)^x$$

2. Используем свойство степени: $$(a^m)^n = a^{m × n}$$

   Упрощаем правую часть уравнения:

   $$6^{2x-8} = 6^{3x}$$

3. Приравниваем показатели степеней:

   Если основания равны, то и показатели степеней должны быть равны:

   $$2x - 8 = 3x$$

4. Решаем полученное линейное уравнение:

   Переносим члены с $$x$$ в одну сторону, а числа — в другую:

   $$2x - 3x = 8$$

   $$-x = 8$$

5. Находим x:

   Умножаем обе части на -1:

   $$x = -8$$

Проверка (необязательно, но полезно):

Подставим $$x = -8$$ в исходное уравнение:

Левая часть: $$6^{2(-8)-8} = 6^{-16-8} = 6^{-24}$$

Правая часть: $$216^{-8} = (6^3)^{-8} = 6^{3 × (-8)} = 6^{-24}$$

Левая часть равна правой, значит, решение верное.

Ответ:

$$x = -8$$