4. Решите уравнение: а) (5y³ − 15y² − 2y + 6)/(y² − 9) = 0; б) (3y³ − 12y² − y + 4)/(9y⁴ − 1) = 0; в) (6x³ + 48x² − 2x − 16)/(x² − 64) = 0; г) (y³ − 4y² − 6y + 24)/(y³ − 6y) = 0.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю и знаменатель не равен нулю.

а) \(5y^3-15y^2-2y+6=(y-3)(5y^2-2)\), а \(y^2-9=(y-3)(y+3)\). Из знаменателя следует ограничение \(y\ne3,-3\). Уравнение числителя даёт \(y=3\) или \(5y^2-2=0\), то есть \(y=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}\). Значение \(y=3\) исключаем.
б) \(3y^3-12y^2-y+4=(y-4)(3y^2-1)\), а \(9y^4-1=(3y^2-1)(3y^2+1)\). Значения, при которых знаменатель равен нулю, исключаются; поэтому корни \(3y^2-1=0\) не подходят. Остаётся \(y=4\).
в) \(6x^3+48x^2-2x-16=2(x+8)(3x^2-1)\), а \(x^2-64=(x-8)(x+8)\). Ограничение: \(x\ne8,-8\). Корень \(x=-8\) исключаем; из \(3x^2-1=0\) получаем \(x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\).
г) \(y^3-4y^2-6y+24=(y-4)(y^2-6)\), а \(y^3-6y=y(y^2-6)\). Ограничение: \(y\ne0\), \(y\ne\pm\sqrt6\). Из корней числителя \(y=4,\pm\sqrt6\) значения \(\pm\sqrt6\) исключаем.

Ответ: а) \(y=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}\); б) \(y=4\); в) \(x=\pm\frac{1}{\sqrt3}\); г) \(y=4\).