4. Решите уравнение: \( \frac{x+3}{x-4} - \frac{x^2-30}{x^2-16} = 0 \)

Решение:

1. Приведём уравнение к общему знаменателю. Заметим, что \( x^2 - 16 = (x-4)(x+4) \). Общий знаменатель: \( (x-4)(x+4) \).
2. Умножим первое слагаемое на \( x+4 \) и второе слагаемое на \( 1 \), чтобы привести к общему знаменателю. Уравнение примет вид:

\( \frac{(x+3)(x+4)}{(x-4)(x+4)} - \frac{x^2-30}{(x-4)(x+4)} = 0 \)

3. Объединим дроби:

\( \frac{(x+3)(x+4) - (x^2-30)}{(x-4)(x+4)} = 0 \)

4. Раскроем скобки в числителе:

\( (x^2 + 4x + 3x + 12) - (x^2 - 30) = 0 \)

\( x^2 + 7x + 12 - x^2 + 30 = 0 \)

5. Упростим числитель:

\( 7x + 42 = 0 \)

6. Решим полученное линейное уравнение:

\( 7x = -42 \)

\( x = \frac{-42}{7} \)

\( x = -6 \)

7. Проверим, что найденное значение \( x \) не обращает знаменатель в ноль. Знаменатель равен нулю при \( x=4 \) и \( x=-4 \). Наше решение \( x=-6 \) не совпадает с этими значениями, значит, оно является верным.

Ответ: -6